על טיפוח דרכי חשיבה של ילדים - רקע תיאורטי 
מתוך מצבור הידע הגדול על דרכי חשיבה של ילדים צעירים בחשבון אנו למדים שתוכניות הוראה שונות בארץ ובעולם לא מתחשבות עדיין מספיק בעושר דרכי החשיבה הלא פורמאליות, שילדים מביאים אתם, וברמה שבה הם מסוגלים לתפקד, ולעיתים הן גם מתעלמות מהם. רוב תוכניות ההוראה קופצות לדוגמה, מהצגת חיבור וחיסור על ידי מודלים, עצמים מוחשיים, ישירות לזיכרון העובדות.
פעמים רבות אין התוכניות לוקחות בחשבון, שילדים פותרים במשך זמן רב (לפחות עד סוף כתה ב') בעיות חיבור וחיסור על ידי אסטרטגיות ספירה למיניהן, כמו ספירה מהאמצע וספירה לאחור, ואסטרטגיות מנטאליות (Derived Facts), שבהן ילדים מוצאים עובדות לא ידועות בעזרת עובדות ידועות.
הידע הרב שהצטבר על דרכי פתרון של ילדים אינו מכתיב בהכרח את הכיוון, שההוראה צריכה ללכת בו. קייס וברייטר (1985) טוענים, שההוראה צריכה להוביל ילדים ולקדם אותם דרך השלבים הטבעיים, שאותם הם עוברים, ולהבטיח, שהם אכן מתמודדים עם כל שלב ולא "נתקעים" בו.  מצד שני, ההוראה המתווכת בצורה טובה עשויה לשנות את המהלך ה"טבעי" ולהקפיץ ילדים בשלב אחד או שניים גבוה יותר מדרכי הפתרון של רוב הילדים מבלי לחכות, עד שכל הילדים יתקדמו באיטיות ב"סולם" אסטרטגיות החשיבה והפתרון שלהם.
גישה אחרת, שיושמה על ידי מספר חוקרים, הייתה לקדם ילדים, שהשתמשו באסטרטגיות בסיסיות ברמה של ייצוג ישיר (Direct Modeling) (בייצוג מוחשי) לאסטרטגיות ספירה מתוחכמות יותר, על ידי ניתוח "מיומנויות הקדם" הדרושות והוראה מובנית של אסטרטגיות ספירה. לדוגמה, קידום תלמידים לאסטרטגיה של ספירה ממספר מסוים לעומת ספירה מ-1 (פיוסון, 1982; סקדה, פיוסון והול, 1983).
בכל שיטת הוראה שבה נוקטים, על הרציונל שלה, החשוב מכל הוא שהמורה תהיה מודעת לדרכים שילדים שונים בכיתה נוקטים כדי לפתור בעיות. הבנה עמוקה של דרכי הפתרון ורמתם ומידת הגמישות במחשבה של הילדים תעזור למורים לתת הסברים, התואמים יותר את הרמה, שבה נמצאים הילדים, ותאפשר להם להתאים יותר את ההוראה להבדלים האישיים שבין הילדים.
לדוגמה, החוקרים מבינים כיום את החשיבות של אסטרטגיות הספירה בהתפתחות דרכי הפתרון של הילדים. לאצבעות תפקיד חשוב בהתפתחות זו. חשוב שלא נאסור על ילדים להשתמש באצבעות (כפי שהדבר נעשה במספר כיתות), בוודאי לא בכיתה א'. במיוחד אין מקום לאיסור כאשר אין באמתחתו של הילד אסטרטגיות חלופיות להגיע לפתרון. אפשר ללמד ילדים להשתמש באסטרטגיות מנטאליות ובמקביל לתרגל אותם לזכור את העובדות. כשהילדים ירגישו נח באסטרטגיות החדשות, הם יתחילו להשתמש בהן. בכל מקרה חשוב לתת לילדים הרגשה, שכל שיטה נכונה, שבה הם משתמשים – לגיטימית ומקובלת.
מחקרים רבים מצביעים על הדרכים, שבהם פותרים ילדים שאלות מילוליות ומהם אנו למדים, שמקומן של השאלות המילוליות בהוראה יכול להיות מרכזי. לילדים הבנה רבה ורגישות למבנה הסמנטי של שאלות מילוליות שונות ויכולת לפתח לעצמם דרכי פתרון מגוונות ואישיות. אין צורך לחכות עד שהילדים ידעו לקרוא כדי להציג להם שאלות מילוליות וניתן לקרוא להם את השאלות ולהסתמך על הבנתם גם בעל פה. אפשר לתת לתלמידים מגוון רחב של שאלות בעלות מבנה סמנטי שונה. אחת המטרות שלנו בבית הספר היסודי היא שהתלמידים ילמדו לפתור בעיות ולהשתמש בידע הקודם שלהם בדרך עשירה. אין הכרח לתת כל פעם שאלות מאותו סוג (כמו שאלות כפל בתחום לוח הכפל). נרצה לעודד את התלמידים לפתור כל מיני בעיות, גם כאלה שלא נלמדו באופן מפורש בכיתה. פיתוח יכולת התלמיד לפתור מגוון רב של בעיות חשובה ביותר להבנה והתקדמות במתמטיקה. 
בנוסף, לא כדאי ללמד ילדים לפתור בעיות מילוליות על ידי למידת מילות מפתח, כמו "יותר", "לקחו" וכו'. גישה זו מביאה פעמים רבות את הילדים לשפוט לא נכון את מבנה השאלה. חשוב שהתלמיד והמורה יתייחסו לכל השאלה ולמשמעות שלה.
כדאי לבנות את ההוראה על האינטואיציות של הילדים בהבנת הסיטואציה הסיפורית ולפתח אותן.
ניתן לראות כי אפילו ילדים צעירים בגן ובתחילת בית הספר מפתחים לעצמם הבנה רבה ומשמעותית בחשבון שניתן לבנות עליה. חשוב לטפח את היצירתיות וההיגיון הבריא שלהם ולא להתעקש להעביר את כל הילדים לדפוס מחשבה אחד, שלפעמים אינו משמעותי עבורם. אם נדע לאפשר לילדים להמשיך להתפתח ולבנות על דרכי הפתרון שלהם, נקבל תלמידים שיודעים ואוהבים מתמטיקה.


מקורות
Case, R., & Bereiter, C. (1985). From behaviorism to cognitive behaviorism to cognitive development: Steps in the evolution of instructional design.
Instruction Science.

Secada, W.G., Fuson, K.C., & Hall, J.W. (1983). The transition from counting-all to counting-on in addition. Journal for Research in Mathematics Education. 14,
47-57.

Fuson, K.C. (1982). An analysis of the counting-on solution procedure in addition. In T.P. Carpenter, J.M. Moser, & T.A. Romberg (Eds.),
Addition and subtraction: A cognitive perspective. Hillsdale, NJ: Erlbaum.

חלק זה לקוח מתוך המאמר:
שטינברג, ר. (1989). התפתחות דרכי חשיבה מתמטית של ילדים בגילאי 8-5,
החינוך וסביבו, שנתון סמינר הקיבוצים.


מורים רבים שואלים את עצמם איך עוזרים לפתח חשיבה מתמטית. בחלק הבא נראה תיעוד של עבודה עם קבוצה קטנה של תלמידים על שאלה אתגרית. איך נגשו התלמידים לפתור, באילו דרכים השתמשו, איזו עזרה נדרשה, ומה היו תפקידי המורה.




 פיתוח יכולת פתרון בעיות אתגר בקבוצה הטרוגנית 
ד"ר רותי שטיינברג

  • איך להבין מה חושבים ילדים ואיך לעודדם לפתרון בעיות אתגר?
  • איך לנהל עבודה בקבוצה קטנה בצורה טובה?
  • איך לעזור לילדים ולעודד אותם להתמודד עם הבעיה בעצמם?
  • איך לנצל הזדמנויות שעולות מרעיונות של תלמידים ולבנות עליהם?
  • איך להגיע עם תלמידים לפיתוח חשיבה מתמטית גבוהה תוך כדי עיסוק בבעיה?
  • איך לנהל דיון טוב ואיך לבנות על רעיונות הילדים (גם להמשך עבודה)?
מצורף כאן תיאור של מפגש שערכתי בקבוצה קטנה הטרוגנית בסוף כיתה ב' בבית ספר ברנדייס בהרצלייה. בית הספר עובד כבר מספר שנים עם ספרי הלימוד של "פשוט חשבון" והמורות הכירו את גישת ההוראה עוד לפני שהספרים הופיעו והן מיומנות בדרך העבודה.
נתתי לתלמידים שאלה אתגרית של חילוק במספרים גדולים מעבר ללוח הכפל
(=42:3). התלמידים לא התנסו בסוג כזה של שאלות בכיתה.
אני מקווה שאפשר ללמוד מהדוגמה הזו איך להקשיב לתלמידים ולעודד אותם לפתור במגוון דרכים ולעודדם לפתור בדרכים הייחודיות להם. איך לעזור לילדים ולתווך להם איך לבנות על הרעיונות שלהם ולהרחיבם, ואיך לנהל דיון משמעותי שיקדם אותם.
למרות שהמטלה ניתנה בכיתה ב' אפשר ללמוד ממנה גם לגבי דרכי הוראה בכיתות הגבוהות. ניתנה השאלה:


מתנה עולה 42 ש"ח. 3 ילדים קנו את המתנה ביחד.
כמה שילם כל אחד?

כל הילדים בקבוצה ידעו לרשום תרגיל חילוק של =42:3.
חלקם רשמו זאת ברישום של תרגיל מאונך (רק את התרגיל. הם לא ידעו לפתור כך). אתאר כאן כיצד פתרו  התלמידים ואיזו עזרה קיבלו ממני בדרך וכיצד רשמו את מה שעשו:

ילד 1 - הילד סימן כל ילד ו"נתן" לכל אחד 10 רק על ידי כתיבה בלי שימוש באמצעי המחשה. הוא ראה שאפשר לתת לכל ילד עוד 4:



 

ילד 2 - הילד צייר 42 קווים והתקשה לפתור. (קשה לפתור שאלת חילוק לחלקים בעזרת ציור.) לאחר זמן התייאש הילד ועזב את המטלה. הצעתי לו לקחת לבני-10 ולנסות איתם והוא סירב. בסוף הוא חשב ל"תת" 10 לכל ילד ורשם   10   10   10
וראה שנשאר לו 12 וחשב על 4  4  4 (בדף הציור מופיע למטה, אך הוא קודם צייר).




ילד 3 -  פתרון עם שברים?!! מניין הופיעו שברים?
הילד ביצע את השאלה בעזרת לבני-10. הוא שם לכל ילד עשרת. נשארה לו עשרת ביד. הוא חשב איך יחלק אותה ל-3 חלקים שווים (הוא שכח משתי היחידות שנשארו בצד). הוא ראה שמתוך העשרת (על ידי הצבעה על היחידות שעל לבנת-10) הוא יכול להוסיף 3 לכל קבוצה ונשאר לו 1. הוא חילק את ה-1 ל-3 ילדים ונתן לכל אחד מהם שליש!!  כלומר, 13 ושליש. (הילד אמנם טעה כאן בכך שלא שם לב ל-2 היחידות הנוספות שהיו בצד, אך הדבר הביא אותו לפתרון עם שברים שהוא מרתק ומזמן נושא שאפשר לבנות עליו בדיון. הוא מבין יפה שאם נשאר 1 שלם שיש לחלק בין 3 ילדים כל אחד צריך לקבל שליש של ש"ח).  עזרתי לו לראות שאת ה-1 שנשאר הוא יכול לצרף ל-2 שנשארו בצד וכך שיש לו עוד 3 והוא יכול לתת 1 לכל ילד. למרות זאת, עדיין היה לו קשה להשתחרר מהשלישים שכבר מצא מ-1. הוא חשב שקודם יחלק את ה10 ויקבל 3 ושליש ואז יחלק את ה-2 שנשארו... נדרשה כאן שיחה נוספת איתו על כך שאין לו צורך כאן בשלישים. בדף הוא מסביר איך פתר בהתחלה גם עם השלישים (למעלה) ולמטה הוא מתקן.




ילדה 4 - התחילה לקחת חפצים אחד - אחד. כיוונתי אותה ללבני-10. היא שמה לבנה של עשרת לכל ילד. את העשרת שנשארה היא המירה ב-10 יחידות וצירפה ל-2 היחידות שנשארו וקיבלה 12 יחידות. היא חילקה אותן אחת - אחת לכל ילד.


ילדה 5 - אף היא עבדה עם לבני-10 ושמה עשרת בכל קבוצה. מהעשרת שנשארה "נתנה" 3 לכל ילד על ידי מנייה על משבצות העשרת. נשאר לה 1 אותו צירפה ל-2 שנשארו ו"נתנה" עוד 1 לכל ילד.


ילד 6 - עבד בניסוי וטעייה בעל-פה. הוא התחיל עם 17. בדק כמה זה 17 + 17 + 17.  
הוא עשה זאת בעזרת פילוג וחיבר את העשרות לחוד ואת היחידות לחוד. הוא חיבר בעזרת השלמה לעשרת הקרובה בעל-פה. אחר כך הוא ניסה 15, 12, ו-14. הוא חישב את הסכומים בעזרת מבנה עשורי ופילוג לעשרות ויחידות.
בדרך, שאלתי אותו איזה מספר כדאי לקחת ש-3 פעמים שלו ייתן מספר עם הספרה 2 בספרת היחידות. הוא אמר שזה לא יכול להיות כי זו ספרה קטנה ואין מספר שאם נכפל ב-3 ייתן 2. (היה לו קשה לחשוב על מספרים מעל 10 שספרת היחידות שלהם היא 2).
לא הספקנו לחזור לרעיון זה איתו ועם הקבוצה. מתאים לדבר על זה גם בדיון או למחרת או בדיון כיתתי. על הדף הוא רק רשם את החישוב האחרון עם 14:


ילדה 7 - ניסתה לנחש מהו המספר שאם נחבר אותו 3 פעמים נקבל 42.
היא חשבה והפעילה אומדן וחשבה ש-14 נראה לה הכי סביר ובדקה רק אותו.
היא ציירה איך המתנה הגדולה מתפרקת ל-3 מתנות קטנות שכל ילד כאילו קונה





הדיון בקבוצה. הילדים סיפרו איך הם פתרו. שיבחתי אותם על כך שכולם פתרו והגיעו לתשובה הנכונה למרות שהשאלה אתגרית. כמו כן שיבחתי אותם על התמדה. במיוחד את הילד שהתחיל על ידי ציור של 42 קווים, וסירב לעצה לעבוד עם לבני עשרות ויחידות. אז הוא ניסה...  ובסוף עבר לרישום של 10 עבור כל ילד ואז בדק כמה נשאר לו והוסיף לכל ילד אחד-אחד את מה שנשאר. הילד הזה היה ביישן ולא רצה לדווח לקבוצה איך הוא פתר. שיבחתי אותו שלמרות שהיה לו קשה הוא לא ויתר וניסה ב-3 דרכים שונות וכל הכבוד שהתמיד ולא התייאש והצליח בסוף.
הילדה שהניחה לבנה של 10 לכל "ילד" ופרטה את העשרת שנשארה וקיבלה 12 יחידות, הראתה איך היא פרטה וגם איך ציירה את ההחלפה של לבנת-10 ב-10 בודדים.

מה עוד אפשר ללמוד מדיווח זה?
הדגשה של רעיונות ודרך ניהול הקבוצה:
הילדים קיבלו שאלה אתגרית שלא למדו לפתור ולא פחדו להתמודד איתה. כל אחד פתר בדרכו. הם השתמשו בידע ובמיומנויות שכבר יש להם כדי לפתור שאלה לא מוכרת. כל אחד פתר לפי הרמה בה הוא משתמש באסטרטגיות פתרון. היו תלמידים שהיו זקוקים לייצוג מוחשי של השאלה. אנחנו רואים כאן שתי רמות של עבודה מוחשית (ייצוג ישיר): במניית חפצים אחד-אחד ובעבודה עם לבני-10 שמאפשרים כבר שימוש בידע של המבנה העשורי.
עזרה לילדים שזקוקים לעבודה מוחשית או לילדים שמתקשים להבין את השאלה:
בכיתה ב' ובוודאי בסוף השנה כדאי לעזור לתלמידים שלוקחים חפצים בודדים במספר גבוה כמו 42, לקחת אמצעי המחשה של עשרות ויחידות. זה עוזר לפתח את הרעיונות של המבנה העשורי. אפשר לשאול, האם כל ילד יצטרך לשלם לפחות 10 ש"ח? ולהנחות את הילדים להניח לבנת-10 לכל ילד ולראות מה נשאר.

אפשר גם לעבוד עם כסף משחק שיש בערכת העזרים. אך הוא מופשט יותר ולא מראה כמותית ש-10 הוא פי 10 מ-1.
אם הילד אינו מבין את השאלה, אפשר לכוונו לקחת 42 בלבני-10, אפשר לסמן את 3 הילדים שקונים מתנה (בציור או בחפץ או בעיגול שבו שמים הלבנים). חוזרים על הסיפור ומנסים להבהירו במילים פשוטות תוך התייחסות לדמיון הפעולה של הקנייה של המתנה. אפשר לבקש מהילד לחזור על הסיפור.
זוהי שאלה של חילוק לחלקים (ידוע מספר החלקים - מספר הילדים) ורוצים למצוא כמה יש לכל ילד. קשה לייצג את השאלה בציור. עדיף לכוון לאמצעי המחשה לילד שזקוק.

רעיונות שאפשר לבנות עליהם עם הילדים הבודדים ובדיון:
הילד שחשב על 1 שלם שנשאר ונתן שלישים לילדים. הרעיון מאד יפה. גם אם לא פתר לחלוטין את השאלה וכדאי לדבר עליו ושהילד ידגים למה התכוון. כמו כן, כדאי לדבר על כך שהרבה יותר קל לצרף את ה-1 שנשאר מהעשרת ל-2 ולחלק 3 ל-3 ילדים, מאשר לחלק 1 שלם לשלושה ילדים ושני שלמים לשלושה ילדים.  (לאמיצים ביניכם, או אם זה קרה בכיתה גבוהה יותר אפשר גם לשאול שיחקרו (אולי מחר, אולי כאן ועכשיו) אם זה יוצא אותו דבר ואיך נדע. כלומר, האם שליש ש"ח לכל ילד  ו-2 ש"ח שמחלקים ל-3 ילדים, כמה ישלמו והאם זה יהיה 1 ש"ח כמו בחלוקת 3 ל-3.

רעיון לפעילות חקר נוספת:
אפשר לדון או לתת כבעיה חדשה לזמן אחר (אולי בזוגות) את השאלה ששאלתי את הילד שביצע ניסוי וטעייה. איזה מספר כפול 3 יסתיים ב-2 בספרת היחידות. האם יש כזה מספר?
אפשר לבדוק כמה כפולות של 3 ולראות.
כמובן, נדגיש גם את הרעיונות של המבנה העשורי, הפריטה, ההחלפה של 10 ו-2 ב-12. הקשר בין החילוק והכפל - כפי שהילד שפתר בניסוי וטעייה פתר. איזה מספר אכפול ב-3 כדי לקבל 42.

רישום תרגיל.
אין לצפות, גם בכיתה גבוהה יותר שהילדים ידעו מייד שמדובר בתרגיל חילוק. פעמים, אפשר להבין זאת רק אחרי שפועלים באופן מוחשי או אחר.
בהחלט רצוי לקבל מן התלמידים גם תרגילים אחרים שמתאימים לבעיה ובדיון לדבר עליהם. מתאים כאן תרגיל חיבור של 14 ועוד 14 ועוד 14 שנכתב אחרי שמוצאים את המספר 14, אפשר באופן דומה גם תרגיל כפל של 3 פעמים 14, או תרגיל חילוק.
כדאי לעודד את התלמידים לכתוב תרגיל מתאים במהלך הפעילות. חשוב לקבל מגוון תרגילים ולא לדרוש שרישום התרגיל יהיה הדבר הראשון שהתלמיד עושה.

הסבר להורים (הערת המערכת):
אפשר להיעזר במאמר ולהסביר להורים באסיפת הורים איך מורים עובדים עם ילדים וכיצד הם כהורים, (אם הם מעוניינים), יכולים לעזור לילדיהם. חשוב להדגיש בפניהם שלא כדאי ללמד את התלמידים בבית את הדרכים הפורמליות, כמו כפל מאונך, או "חילוק ארוך" ושיש חשיבות רבה לתת לתלמידים לפתח את דרכי הפתרון שלהם לאורך זמן. כמו כן חשוב להסביר להורים את החשיבות של שימוש באמצעי המחשה מגוונים שבהם  התלמידים מרגישים בנוח (כולל ספירה בעזרת אצבעות). 
תלמידים שפותרים בדרך המתאימה לדרגת התפתחותם תוך שימוש במיומנויות המוכרות להם, יפתחו תובנות מתמטיות משמעותיות ויגיעו להישגים טובים, ירגישו בטחון בלמידה ויהיו מוכנים להתמודד עם מטלות אתגריות לאורך זמן. ולא פחות חשוב - הם יאהבו את המקצוע ויראו בו אתגר שלמענו כדאי להם להתאמץ.